A comparison principle based on couplings of partial integro-differential operators
This paper is concerned with a comparison principle for viscosity solutions to Hamilton-Jacobi (HJ), -Bellman (HJB), and -Isaacs (HJI) equations for general classes of partial integro-differential operators. Our approach contributes to the literature in three ways: (1) We cast the Crandall-Ishii Lemma into a test function framework to tackle a wide class of second-order integro-differential operators in the spirit of the classical doubling of variables method. (2) We provide a unified approach to estimate the difference of Hamiltonians by adapting the probabilistic notion of couplings to an analytic setting. (3) We strengthen the sup-norm contractivity resulting from the comparison principle to one that encodes continuity in the strict topology. We apply our theory to a variety of examples, in particular, to second-order differential operators and, more generally, generators of spatially inhomogeneous Lévy processes. Résumé en français. Cet article porte sur un principe de comparaison pour les solutions de viscosité d’équations de Hamilton-Jacobi (HJ), -Bellman (HJB) et -Isaacs (HJI), pour des classes générales d’opérateurs intégro-différentiels partiels. Notre approche contribue à la littérature des trois manières suivantes : (1) Nous reformulons le lemme de Crandall-Ishii dans un cadre de fonctions tests afin de traiter une large classe d’opérateurs intégro-différentiels du second ordre, dans l’esprit de la méthode classique du doublement des variables. (2) Nous proposons une approche unifiée afin d’estimer la différence des Hamiltoniens en adaptant la notion probabiliste de couplages à un cadre analytique. (3) Nous renforçons la contraction en norme supremum issue du principe de comparaison en une contraction encodant la continuité pour la topologie stricte. Nous appliquons notre théorie à une variété d’exemples, en particulier aux opérateurs différentiels du second ordre et, plus généralement, aux générateurs de processus de Lévy spatialement inhomogènes.